第三次数学危机对数学产生的影响
为了避免数学以后再出现类似问题，数学家对集合论的严格性以及数学中的概念构成法和数学论证方法进行逻辑上、哲学上的思考。于是，在20世纪初产生了一个新的数学领域——数学基础。数学家开展数学基础的研究，其目的是力图为整个数学奠定一个坚实的基础。于是引发了对如下问题的激烈讨论。这些问题是：纯数学研究对象的客观性问题、数学的形式化问题、数学系统的一致性和命题的判定问题以及数学理论真理性的标准问题等。随着对这些问题深入研究，在数学界产生了数学基础研究的三大学派：逻辑主义、直觉主义和形式主义。
逻辑主义学派的代表人物是罗素和英国数学家怀特黑德（Alfred North Whitehead），他们强调逻辑而排斥直觉，认为数学即逻辑，主张逻辑是整个数学的唯一基础。
直觉主义学派的代表人物是荷兰数学家布劳威尔（Luitzen Egbertus Jan Brouwer），他们强调直觉而排斥逻辑，主张直觉才是数学的唯一基础；把数学思维理解为一种创造性程序，数学必须受到基本的数学直觉的限制。需要说明的是，他们所谓的“直觉”并不是指主体对于客观事物和现象的一种直接把握和洞察能力，而是指思维的“本能”，这种本能与客观世界无关。
形式主义学派的代表人物是希尔伯特，他们认为逻辑具有先验的真理性以及数学整个地具有逻辑的特征，主张通过逻辑的相容性来辩护数学的真理性和合法性。
这些学派之间，互相争论，互相批判，把数学基础的研究推向高潮。
哥德尔不完备性定理
1931年，奥地利数学家和逻辑学家哥德尔（Kurt Gödel）在《数学物理月刊》上发表了一篇题为《论数学原理一书中的形式上不可断定的命题以及有关系统I》的论文。在论文中哥德尔证明了对于非常广泛的一些系统，若它们是相容的，则它们必是不完备的；若它们是相容的，则它们的相容性必不能由该系统内部推出。这就是哥德尔不完备性定理的含义，它大大地影响了数学尤其是数理逻辑的进展。
我们将就如下几个方面来介绍哥德尔不完备性定理的出现对数学产生的影响。
（1）它推翻了数学的所有重要领域能被完全公理化这个强烈的信念。
继20世纪初期希尔伯特等人对形式公理学的发展之后，公理化方法有了迅速的发展。许多数学分支都在向建立具有完备的公理系统发展，方法是首先建立一个公理系统，如果它不是完备的，则再添加一些公理，直到其完备。
但是这种信念和努力被哥德尔的论文所动摇了，因为哥德尔在论文中给出了下列定理：
哥德尔不完备性第一定理：对于包含自然数系的任何相容的形式体系F，存在F中的不可判定命题；即，在F中的命题S，使得S和非S都不能在F中得证。
因此，自然数系的任何公设集，如果是相容的，就是不完备的。即，不管我们能为自然数系采用什么相容的公理系统，总存在关于自然数的陈述S，使得S和非S都不能由这公理系统中的那些公理出发来证明。
例如，意大利数学家皮亚诺（G. Peano）于1889年在其著作《算术原理新方法》中给出的自然数算术理论的公理系统对于自然数系是相容的，但是它不完备。并且有数学家在组合论中发现了皮亚诺公理系统中既不能肯定也不能否定的一个纯粹组合问题。
（2）它摧毁了沿着希尔伯特曾设想的路线证明数学的内部相容性的全部希望。
希尔伯特规划是其数学观的主要体现，核心是：以形式公理化为基础，以有限立场的推理为工具，去证明整个数学的相容性，从而把整个数学建立在一个牢固可靠的基础上。
虽然希尔伯特能以某些简单的系统说明他指望对所有经典数学的复杂得多的系统所做的努力，但是他还是没能对那些经典数学实现其相容性的证明。哥德尔明确地指出实现其相容性的证明是不可能的，因为他还证明了下列定理：
哥德尔不完备性第二定理：对于包含自然数系的任何相容的形式系统F，F的相容性不能在F中被证明。
因此，在F的不可判定问题中，F的相容性问题就是其中之一。这也就是说，对于任何的形式系统来说，都不可能在这一系统中给出关于自身相容性的证明。这破灭了希尔伯特原来的希望。