3．第三次数学危机与哥德尔不完备性定理
康托的集合论简介
对于无穷，历史上曾有两种观点：潜无穷和实无穷。所谓潜无穷就是把无穷看成是一种永无止境而又不能完成的、变化或生成的过程；而实无穷则是把无穷对成是一种已经存在了的、已经完成的过程，是一种得以独立存在的无限性对象。
从古希腊以来的数学只允许潜无穷的观点，比如,亚里士多德（Aristotle）等人认为：集合可以被做得越来越大，大得没有界。但否认完成的无穷集合的存在。因此，数学家在处理无穷集合（如实数集，自然数集合等）时，一般都避免对实无穷集合明确承认。例如，他们避免说直线是由无穷多个点构成的。但是当数学家最终不得不面对确立分析的严谨性问题时，就再也不能避开这类事了。
1869年德国数学家康托（Georg Cantor）开始了对无穷集合理论的研究。1874年，29岁的他在《数学杂志》上发表了关于无穷集合理论的第一篇革命性论文《全体代数数的集合的一个性质》。这标志着集合论的诞生。
康托对无穷集合进行了定量研究，这是建立集合论的关键。他说：“我的集合论研究的描述已经达到了这样的地步，它的继续已经依赖于把实的正整数扩展到现在的范围之外。这个扩展所采取的方向，就我所知，至今还没有人注意过。”他定义了无穷基数与无穷序数，即把一个无穷集合中各元素的其他性质都舍弃，仅仅留下个数与次序，结果便得到序数；如果将次序也舍弃，仅仅留下个数结果便得到基数，并且建立了基数和序数理论。这是惊人之举。
罗素悖论与第三次数学危机。
康托集合论的建立，使得数学真正摆脱了对感性直观的依赖，而进入了抽象理论发展的轨道。它为数学提供了一种广泛的理论基础。这以后，数学家们把数学几乎都放在集合论基础上建立或完善，各分支数学都开始大量地使用集合论的概念及其成果，其中尤为突出的是现代数学理论多把集合概念作为构成其理论体系的原始概念，把集合论的公理作为自己的基本公理。
但是康托集合论在逻辑上存在问题，首先是由意大利数学家布拉利-福蒂（Cesare Burali-Forti）于1879年指出的。他说：所有序数的序列是良序的，它具有的序数应该是所有序数的最大数。1899年康托也发现问题：所有的基数全体本身是否构成一个集合，如果是集合，则它的基数就会大于任何其他基数的基数。这两个悖论涉及了集合论中特定的概念，因此康托认为只要适当修改这些内容就可以消除这些问题。但是英国数学家罗素（Bertrand
Russell）于 1902年提出了让数学家根本就没有反驳余地的罗素悖论：用M表示一切自己是自己的元素的类，即M={x|
x Î x}，用N表示一切自己不是自己的元素的类，N={x|
x Ï x}。显然，M和N是互相排斥的。现在对于集合N，若NÎM，则NÏN，即N不是自己的元素，则NÎN。如果NÎN，即N是自己的元素，所以NÎM。这样不管NÎM还是NÎN，均有相矛盾的结论：N既是M的元素又是N的元素。
集合论中的这些逻辑上的矛盾实质上是由于概括原则所引起的。概括原则包含了允许存在“所有集合的集合”，从而包含产生“自我相关”的矛盾的逻辑可能性。正如罗素所指出的，这些悖论的起因均是在于一个要定义的东西是用包含这个东西在内的一类东西来定义的。
罗素悖论引起数学的第三次危机。这一危机使数学界陷入了巨大的困境。
由于这次危机的根源是康托的集合论出了问题。因此，为了摆脱危机，必须使康托的集合论更加完善。1908年，德国数学家策梅罗（Ernst
Zermelo）给出第一个集合论的公理系统，这个系统经过弗兰克尔（Abraham A. Fraenkel）等人的改进，演变成ZF系统。ZF系统避免了罗素悖论和其他已知的悖论，但是又导致了一些新的问题产生。此危机产生的问题至今尚未彻底解决。