（2）欧几里得几何的重建
《几何原本》存在的缺陷概括起来主要有如下三个方面。
第一，一部分基本概念模糊不清，即用一些未加解释的基本术语，对概念下定义。例如，欧几里得把点定义为“没有部分的东西”，把线定义为“没有宽度的长度”，把面定义为“只有宽度和长度的东西”等等。但是对于部分、宽度、长度等术语，他没有解释。
第二，许多定义含混。比如，关于直线的定义是“直线是同其中各点看齐的线”；他关于平面的定义是“平面是与其上直线看齐的那种面”等等。实际上，欧几里得的定义是以直观为基础的。
第三，公理不足。在《几何原本》的五个公设中，其中“凡直角皆相等”公设是多余的，《几何原本》从头到尾从未用过。但是更重要的是没有运动公理、连续公理和顺序公理。如果没有运动公理，那么移动一个图形就缺乏逻辑根据。如果缺乏连续公理，则两条线交点的存在性就得不到逻辑保证。如果没有顺序公理，则许多错误的结论，如任意三角形是等腰的、直角等于钝角均可“证明”。
德国伟大的数学家希尔伯特（Hilbert David）于1899年发表了《几何学基础》，最终解决了《几何原本》中的缺陷，同时也完善了几何学的公理化方法。
被称为近代公理化思想代表作的《几何学基础》给出了由基本元素（点、直线与平面）和基本关系（结合、介于与合同）组成的不定义的原始概念，以及20条公理。这些公理被分成5组，分别称为结合公理（8条），顺序公理（4条），合同公理（5条），平行公理，和连续公理（2条）。在公理的表述和定理的论证中摆脱了《几何原本》所依赖的空间观念的直觉成份，为进一步抽象概括奠定了基础。
希尔伯特等人用这些公理证明了欧几里得几何的全部内容，从而把欧几里得几何学改造为一个严密的公理化体系。这一成功使得在数学中掀起了一场公理化运动，并且由此而促使数学的许多旧的与新的分支的逻辑结构更加完善和严密。公理化发展的实质是：从一些不定义的术语出发，这些术语的性质由公理规定；工作的目标是导出这些公理的推论。此外，对每个系统必须确立这些公理的独立性、相容性以及结构规定性。
从逻辑的角度来看，不能认为一些公理的任意罗列都能构成合理的公理系统。一个有意义的公理系统应当是一个能满足如下条件的有机整体。
（I）相容性，也称无矛盾性：即不能由公理系统中的公理导出相矛盾的结论。
（II）独立性：即在公理系统中，任何一条公理都不能由其他公理推出。
（III）完备性：即要求能确保从公理系统能推出所研究的数学分支的全部命题。
另外必须注意的是：在鉴别某个公理系统是否符合上述要求时，不应该受该系统的题材（或内容）的影响。就原始概念而言，没有必要明确其意义，就像希尔伯特说的那样，这些点、线、面以及其它元素，可以用桌子、椅子、啤酒杯以及别的什么东西来代替。因此不如把该论述的原始的、未定义的术语用符号，比如x，y，z等，来代替。这时该论述的公理成为关于这些符号的陈述从而失去了具体意思；这样就能不受直观因素的干扰，而依据严格的逻辑基础去获得结果。
这种公理系统与实质性公理体系的不同之处是：它的公理已不再从属于某个特定的对象，而是反映许多具有相同数学结构的对象的共同性质的形式。所以它被称为形式化公理体系。由此公理化方法进入形式化阶段。
随着康托的集合论的建立和近代数理逻辑的发展，公理化方法形式化取得巨大成功，并且把公理化方法推向纯形式化阶段。其基本特点是概念与关系的表达，命题的陈述，以及证明的过程均符号化，并且采用现代数理逻辑作为其演绎推理的工具。
公理化的意义
（1）它把数学带入了严密阶段。
数学的严密性是通过各个分支的公理化来完成的。数学的许多分支如抽象代数、拓扑空间和集合论等都用公理方法建立它们的体系，甚至像概率论这样联系实际比较紧密的数学分支，也只有用公理方法叙述之后，它的基础才被认为是稳固的。
（2）它是其他自然科学甚至是人文和社会、艺术科学理论研究的典范。
除了数学以外，物理学比其他经验科学有更好的理论严密传统，许多物理理论均是公理体系，比如，本世纪40年代波兰数学家巴拿赫（Stefan
Banach）曾完成了理论力学的公理化；物理学家还把相对论表述为公理化形式；马克思、恩格斯的社会主义发展为共产主义的理论；美国的《独立宣言》的等等。
（3）它体现了人类认识的主观能动性。
不难发现，在一定的条件下，人们在实践的基础上能得到超越当时实际的理论，并在这理论的指导下去进一步认识和改造世界，非欧几何的创立和后来的应用就充分体现了这一点。