为了消除对欧几里得第五公设的疑虑，而诞生了非欧几何，这使得人们对几何公理的实质有了深刻的认识，即几何公理的正确性在于其经验基础而不是自明性。非欧几何的出现极大地推动了公理化的发展，而公理化的进一步发展则源于对欧几里得几何的重建。
（1）非欧几何产生的过程
从希腊时代到1800年左右，数学家们沿着两种途径来试图消除人们对欧几里得几何第五公设的疑虑，一种是用更加自明的命题来取代第五公设；另一种是用其他的公设和公理来推导第五公设，从而使它降为定理。
下面的命题曾经是作为替代第五公设而提出的：
（I）在一平面上过已知直线外一给定点有且只有一条直线与已知直线不相交。
（II）两条相交直线不能同时平行于第三条直线。
（III）存在一对同平面的直线彼此处处等距离。
（IV）过任何三个不在同一直线上的点可作一圆。
（V）至少存在一个三角形，其三个角的和等于两个直角。
其中（I）是今天几何课本所用的平行公理，它是由苏格兰数学家普雷菲尔（John Playfair）于1795年给出的，称为普雷菲尔公设。
这些命题都是第五公社的等价命题。数学家经过长期的探索，在19世纪变量数学诞生100多年之后，有三位数学家在研究第五公设时，从第五公设的否定出发，经过严格的逻辑推理，不但没有推出在逻辑上与本系统的其他命题相矛盾的结论，反而建立了一种新的几何学-----非欧几何学。
高斯是第一个认识到第五公设具有独立性（即不能由其他公设与公理推出）。有同感的还有俄国的罗巴切夫斯基（Ηиколай Иванович
Лобачевский）和匈牙利的亚诺什·鲍耶（Bolyai János）。他们三人也认识到第五公设是欧几里得几何所必须的，并且他们互相独立地建立了同一种非欧几何。因为当时关于第五公设的研究不是数学研究的主流，因此高斯担心受到别人嘲笑，从而没有发表有关非欧几何的著作。
罗巴切夫斯基在1829—1830年发表了题为《论几何基础》的文章。这是第一个公开发表与欧几里得第五公设相对立的新几何，所以这种几何被称为罗巴切夫斯基几何。
罗巴切夫斯基没有直接否定第五公设，而是否定普雷菲尔公设。他引入了新的平行公理：“在一平面上过已知直线外一给定点至少有两条直线与已知直线不相交”，并且保留了欧几里得几何中的其他九条公设和公理，从而构成罗巴切夫斯基几何。
为了理解罗巴切夫斯基几何中的直线平行的概念，我们来看一个模型：
把一个圆的内部（不包括圆周）作为一个平面a，圆内的弦（不包括两端）作为直线（如图3－2－1）。点C在已知直线AB外，直线AA1、BB1和EF均经过点C，但是AA1和AB、BB1和AB均相交于圆周上，就平面a而言这两个交点不属于平面a，即AA1和AB、BB1和AB均在平面a内不相交，在罗巴切夫斯基几何中称AA1和BB1
均与AB平行。对于EF，虽然它与AB在平面a内也不相交，但它不是AB的平行线，在罗巴切夫斯基几何中称EF与AB离散（或超平行）。因此在罗巴切夫斯基几何的平面上两条直线有三种位置关系：相交，平行和离散。
非欧几何的第三位发现者亚诺什·鲍耶只在1832年发表了一篇关于非欧几何的论文。这篇论文相当系统地论述了新几何学的基本问题，但是与罗巴切夫斯基的所研究的基本一样，只是在细节上有所不同。虽然罗巴切夫斯基比他早发表非欧几何，但是当他看到后来罗巴切夫斯基继续发表的论文时，曾经怀疑罗巴切夫斯基抄袭他的工作。
继罗巴切夫斯基几何产生之后，德国数学家黎曼（Bernhard Riemann）在非欧几何方向上取得了最重要的进展。他在1854年发表的论文《论几何学的基本假设》中提出了更广泛的一类非欧几何——黎曼几何。黎曼几何既否定了欧几里得的第五公设，也否定了直线可任意延伸的假设。它采用“在同一平面上，任意两条直线都必有一个交点”代替第五公设，对其他九条公设和公理只是稍作变动。因此黎曼几何没有平行线，并且有些命题与欧几里得几何、罗巴切夫斯基几何的命题不同。比如在黎曼几何中，直线不把平面分成两部分；三角形内角和大于两直角；而在罗巴切夫斯基几何中三角形内角和小于两直角。
人们一直没有怀疑欧几里得几何的相容性（即由那些公设和公理不会推导出相矛盾的结论），但是对于非欧几何这一与人们直观相背的几何，人们担心会产生相矛盾的结论。这种疑虑一直到19世纪后期，意大利数学家贝尔特拉米（Eugenio
Beltrami）等人证明了非欧几何和欧几里得几何之间是相对相容的，即欧几里得几何相容，则非欧几何也相容，从而消除了人们的担心（但是这种担心后来转给了欧几里得几何）。