2．数学的公理化
从上面对数学证明的分析和理解中，我们可以看出一点，从最简单的命题（公理或公设）出发，通过严格的逻辑推理，推演出与这些公理或公设相关的所有命题，称为演绎的公理化体系。最早在古希腊，数学家和哲学家形成了这样一种观念：一个合乎逻辑的学科，应当是由一组在开始研究这一学科时假设可以接受的原始命题（陈述）出发，通过演绎推理而得到的一系列命题。当然，在表达由演绎法进行的一个论证时，这个论证中的任何命题都必须由前面的一个或几个命题推导出来，而前面的一个命题本身又必须由更前面的一个或几个命题推导出来。因为不能这样无限地追溯下去，又不能造成逻辑上的循环，所以在开始研究这一学科时，必须确定一组原始命题并且承认它们是正确的，然后，完全由演绎推理来导出这一学科的其他所有命题。
原始命题和导出命题都是关于这一学科的学术内容的陈述，因此都需要使用一些专门的术语，这些术语需要定义。所以同样也需要确定一组基本术语，并且对于它们的用法给以解释。然后，借助于它们定义其他所有术语。
现在人们把根据希腊人的这种观念而建立的学科，称为依实质性公理体系而建立起来的。数学史上第一个这样的学科就是欧几里得几何学，它是以欧几里得的《几何原本》为标志的，是希腊人对数学的最杰出的贡献，是数学公理化成功的源头。
● 公理化思想的发展---非欧几何的建立
公理化思想诞生后就成为数学家、思想家追求的目标。但是，《几何原本》的5个公设中第5公设与其他的公理和公设有所不同：
公设（I）从任意一点到任意一点可作直线。
（II）有限直线可以继续延长。
（III）以任意一点为中心及任意的距离（为半径）可以画圆。
（IV）所有直角都相等。
（V）同一平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于两直角，则这两直线经无限延长后在这一侧相交。
公理（I）和同一量相等的诸量彼此相等。
（II）等量加等量，总量仍相等。
（III）等量减等量，余量仍相等。
（IV）可以重合的量，彼此相等。
（V）整体大于部分。
其中第五个公设称为欧几里得平行公设，简称第五公设。表面上看，第五公设要比其他的公理和公设复杂一些。因此，数学家对它怀有疑虑，试图将其作为数学命题纳入体系，但无法证明。从此以后，对第五公设的研究就成为数学史上的一个问题。