● 数学证明的功用
数学证明能带给我们什么信息？它不仅能告诉我们命题的真伪，也能告诉我们命题的内涵以及事物之间的关联。因此数学证明的功用主要体现如下三个方面：
（1）核实命题
数学证明最基本的功用就是核实数学命题的正确性。例如，证明 
是一元二次方程ax2+bx+c=0（a¹0）的解。我们只要把
代入等式ax2+bx+c=0的左边，判断等号是否成立即可知命题是否正确。
（2）理解命题
数学家工作的目的是发现和表达某些真理。他们使用数学语言，将那些真理表达给其他人看。数学证明就常常起着这种作用，人们通过它去理解真理。因此我们读一个数学证明，仅仅知道它证明了命题还不够，还应从证明中看得出命题成立的因由。
公元9世纪阿尔·花拉子米讨论了一次或二次代数方程的解法。由于对负数缺少认识，阿尔·花拉子米把方程分成6种： x2＝bx，ax2＝c，bx＝c，x2+
bx＝c，x2+ c＝bx，bx +
c＝x2，这里a、b、c都是正数，而且要求解也是正数。阿尔·花拉子米用几何解释它们的算术解。例如，对x2+
bx＝c，他运用几何知识解释了配方法的中心思想。他画了下图（图3－1－2）：
一个十字图形是由一个边长为x的正方形，和各边补上另一边是 
的矩形组成，其面积按题意是c。十字图形剩下四个角刚好是边长为
的四个正方形。这四个小正方形合成一个边长为 
的正方形。十字图形补上这四个小正方形就形成边长是x+
的大正方形，于是有 
，由此得 
，所以 
（即 
），这正是x2+ bx＝c解的公式。
（3）发现命题
已知两个命题A和B，其中每一个既可以是真的也可以是假的，数学中的重要问题是指明：如果A是真的，那么B也是真的，而证明是完成这个任务的正规方法。
一般来说，能否证明B是真的在很大程度上依赖于A是真的这个事实，并且找到A和B之间的联系。要发现这种联系，需要具有相当的创造力。
例如，n个平面都经过一点，但其中任何三个平面部不共线。问这n个平面把空间分成多少部分？
一个平面把空间分成2部分，即21部分；两个平面把空间分为4部分，即22部分；三个平面把空间分为8部分，即23部分；于是有人认为n个平面可以把空间分为2n个部分。当我们在证明这个结论时发现其不正确，因为当n＝4时，最多只能把空间分为14个部分，而不是24＝16部分。从而导致人们发现正确命题：n个平面都经过一点，但其中任何三个平面部不共线，则这样n个平面把空间分成n（n—1）+2个部分。