第三章 数学的真理性
一、数学的真理性内容概括
证明是数学的基本特征，离开了证明很难体现数学的真理性。因此理解数学证明是客观而全面理解数学的一个重要部分，同时证明也是数学的一个基本思想方法。
本章的主要内容有以下几点：
● 数学证明
● 数学的公理化
● 第三次数学危机与哥德尔不完备性定理
下面就具体内容进行分析和讲解。
1．数学证明
● 数学证明
数学史上是公元前6世纪的古希腊哲学家泰勒斯（Thales）开始了数学证明。早期数学建立在经验和直观之上。而泰勒斯开始了对一些从经验和直观中得到的数学结论进行论证。据史料记载，以下数学命题是泰勒斯首先发现并证明的，但是，他是怎么证明的，过程并未流传下来。
（I）圆被任何直径二等分。
（II）等腰三角形两底角相等。
（III）两直线相交，其对顶角相等。
（IV）两角及夹边对应相等的两三角形全等。
（V）内接于半圆的角是直角。
从一个最直观、由经验得到的基本事实出发（公理或公设），经过严格的的演绎推理，得到与这些基本事实相关的所有结论，称为演绎的公理化体系。历史上，第一个建立演绎的公理化体系是在数学中。在公元前4世纪，古希腊数学家欧几里得将几何整理成这样的演绎的公理化体系-----《几何原本》，从而在二千多年中成为经典，也奠定了数学证明的模式。
证明按《辞海》解释是：根据已知真实的判断来确定某一判断的真实性的思维形式。它是由论题、论据、论证组成，其逻辑依据是充足理由律，即任何真实的判断，都要有充足的理由。在推理和论证中，对于任何一个真实的结论或论题而言，其前提或论据必须是它的充足理由。
数学上的证明是以一些基本概念和基本公理为基础，使用合乎逻辑的推理去决定判断是否正确。数学中的判断，叫做命题。因此“一个命题是真的，必须且只须它是这样一串命题的最后一个，其中每一个命题或者是形式系统的一条公理，或者是由一条推导法则所导出的命题。”这也就是说，数学证明是以一些真实性已确定的命题为前提，通过逻辑论证，确定某一命题的真实性的思维形式。因为其证明依赖于充足理由律，因此如果基本概念和基本公理是正确的，逻辑没有缺陷，那么最终得到的结论必然是正确的。
所以，“数学证明是由这样的程序组成的：肯定一个公式；肯定这个公式蕴涵着另一个公式；肯定这第二个公式。一系列这样的步骤，其中所肯定的公式或蕴涵关系都是前面的公理或结论，这就构成了一个定理的证明。”